TRAVAUX DIRIGES : " ATOMES ET MOLECULES " - Cours de Thierry Briere

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Série 1 : Structure de la matière

Constante de Planck : h = 6,62 10^-34 J s

Charge de l’électron : e = 1,6 10^{-19 C}

Nombre d’Avogadro : N = 6,022 10²³

Célérité de la lumière dans le vide : C = 3 10⁸ m s^-1

Masse de l'électron : m_e = 9,1 10^{-31 kg}

Masse du proton : m_p = 1,6725 10^{-27 kg = 1,00718 u.m.a}

Masse du neutron : m_n = 1,6747 10^{-27 kg = 1,00850 u.m.a}

Exercice 1 :

1) Le Potassium existe sous forme de deux isotopes stables ³⁹K et ⁴¹K.

Les abondances relatives de ces deux isotopes sont de 93,09 % pour l’un et de 6,91 % pour l’autre.

Sachant que la masse molaire du Potassium naturel est de 39,10 g mol^-1 attribuer son abondance naturelle à chaque isotope.

Un isotope est très largement majoritaire et l’autre est pratiquement négligeable.

La masse molaire moyenne de 39,1 g.mol^-1 est donc très proche de celle de l’isotope le plus abondant.

Ici c’est donc l’isotope ³⁹K qui représente 93 % et l’isotope ⁴¹K 7%.

On aurait pu aussi résoudre le système :

M = S xi Mi

Approximation : Mi » Ai

M » S xi Ai

39,1 = x * 41 + y * 39

x + y = 1

Soit x = 0,05 et y = 0,95

Donc 95 % de ³⁹K et 5% de ⁴¹K

Ces résultats approximatifs correspondent bien aux valeurs expérimentales.

2) Le Francium est le métal alcalin le plus lourd connu. Il a été découvert par Perey en 1939.

Ce métal est radioactif et ne possède aucun isotopes stables.

On obtient un de ses isotopes ²²³Fr par la désintégration spontanée de type a d'un isotope radioactif de l'Actinium (Z = 89). L'isotope du francium obtenu se transforme par radioactivité de type b^- en un isotope du Radium.

Ces deux transformation successives sont schématisées dans la figure suivante :

On demande de déterminer les valeurs de x, y, t et u.

Lors d’une émission b^-, un neutron est transformé en proton avec éjection d’un électron, le nombre de masse ne varie pas et le numéro atomique augmente d’une unité.

Lors d’une émission a, il y a éjection d’une particule a (noyau d’Hélium 4) , le nombre de masse diminue de quatre unités et le numéro atomique diminue de deux unités.

On voit donc facilement que :

t = 223

x = 227

y = 87

u = 88

Voir le résumé suivant :

Exercice 2 :

Le Magnésium (Z=12) possède trois isotopes stables ²⁴Mg, ²⁵Mg et ²⁶Mg leurs abondances naturelles sont respectivement : 78,6% - 10,1 % et 11,3% . Calculer la masse molaire atomique approchée du Magnésium et expliquer pourquoi le résultat obtenu n’est qu’approximatif.

M = S xi Mi

x²⁵Mg= 0,101 et M²⁵Mg » 25

x²⁶Mg= 0,113 et M²⁶Mg » 26

x²⁴Mg= 1 - 0,101 - 0,113 = 0,786 et M ²⁴Mg » 24

M Mg » 0,101*25 + 0,113*26 + 0,786*24 = 24,3 g.mol^-1

Approximations :

* mp » mn » 1 u.m.a

* masse des électrons négligée

* défaut de masse négligé

Exercice 3 :

Le Béryllium Be ne possède qu’un seul isotope stable. Sa masse molaire atomique est 9,012 g.mol^-1.

1. Calculez l’énergie de cohésion de cet isotope stable, en J mol^-1 puis en MeV par noyau puis en MeV par nucléon.

Charge de l’électron : e = 1,6 10^{-19 C}

Nombre d’Avogadro : N = 6,022 10²³

Célérité de la lumière dans le vide : C = 3 10⁸ m s^-1

Masse du proton : m_p = 1,6725 10^{-27 kg = 1,00718 u.m.a}

Masse du neutron : m_n = 1,6747 10^{-27 kg = 1,00850 u.m.a}

M = 9,012 g mol^-1 è A = 9 è ⁹Be è Z = 4 et N = 5

Masse "théorique" du noyau :

Mthéo = Z m_p + N m_n = 4 _* 1,00718 + 5 _* 1,00850 = 9,07238 u.m.a / noyau = 9,071 g mol^-1

Défaut de masse :

Dm = ½ 9,012 - 9,071 ½ = 0,059 u.m.a / noyau = 0,059 g mol^-1

La masse réelle du noyau est inférieure à sa masse " théorique ", le noyau est plus stable que ses constituants séparés. Il y a donc dégagement d’énergie lors de la formation du noyau a partir de ses constituants. La masse perdue est entièrement convertie en énergie.

Energie de cohésion :

E = Dm C² = 0,059 10^-3 _* 9 10¹⁶ = 5,31 10¹² J.mol^-1

E = 5,31 10¹² / N = 8,818 10^-12 J/noyau

E = 8,818 10^-12 / 1,6 10^-19 = 55,1 106 eV / noyau = 55,1 MeV / noyau

55,1 MeV / noyau = 55,1 / 9 = 6,12 MeV / nucléon

2. Représenter sommairement la courbe d’Aston en indiquant les grandeurs représentées (et leurs unités !) en abscisses et en ordonnée. Placer approximativement cet isotope sur la courbe. Fait-il parti des isotopes les plus stables ? Si non, par quel type de processus peut-il se stabiliser ?

3. Cet isotope est utilisé comme " générateur de neutrons " dans l’industrie nucléaire. Un atome de cet isotope fixe en effet une particule a , un neutron est libéré et il se forme un autre noyau dont on précisera la nature exacte. Ecrire la transformation correspondante. Est-elle en accord avec la réponse à la question précédente?

Il s’agit bien d’une réaction de fusion dans laquelle deux noyaux " légers " s’unissent pour donner un noyau plus " gros ".

Il existe également trois isotopes radioactifs du Béryllium ⁷Be , ⁸Be et ¹⁰Be.

4. L'isotope ⁸Be est émetteur de type a ce qui peut paraître surprenant puisque ce type de radioactivité est généralement observé pour les atomes lourds de numéron atomique Z > 84. Qu’a-t-il de particulier qui justifie cette forme de radioactivité ? Ecrire la réaction nucléaire correspondante.

Le noyau de ⁸Be est équivalent à deux particules a il se scinde donc facilement en deux particules a individuelles.

Remarque : Au début du siècle, à l’aube des études sur l’atome et la radioactivité on a pensé que les particules a étaient des particules élémentaires.

5. Les deux autres isotopes sont des émetteurs de type b. Attribuez à chacun son type de radioactivité b⁺ ou b^- en justifiant la réponse. Ecrire les réactions nucléaires correspondantes.

Isotope ⁷Be : Soit quatre protons et trois neutrons.

Comparé à l’isotope stable composé de quatre protons et de quatre neutrons, cet isotope instable possède un " manque " de neutron il cherchera à se stabiliser en transformant un proton en neutron. Il sera donc émetteur b⁺(émissions de positrons). Il se forme un isotope de l’élément précédent dans la classification périodique, l’Hélium He.

Isotope ¹⁰Be : Soit quatre protons et six neutrons.

Comparé à l’isotope stable composé de 4 protons et de quatre neutrons, cet isotope instable possède un " excès " de neutrons il cherchera à se stabiliser en transformant un neutron en proton. Il sera donc émetteur b^- (émission d'électrons). Il se forme un isotope de l’élément suivant dans la classification périodique, le Bore B.

Exercice 4 :

1. Le brome possède seulement deux isotopes stables. L'isotope le plus abondant est ⁷⁹Br dont l'abondance naturelle est de 50,5%. La masse molaire du Brome naturel est de 79,91 g.mol^-1. Quel est l'autre isotope stable du brome ?

Appelons x le nombre de masse de l'isotope inconnu.

Faisons les approximations habituelles :

• mp » mn » 1 u.m.a
• Masse des électrons et défaut de masse négligeable

Soit Mi » Ai

M = S xi Mi

M » S xi Ai

79,91 = 0,505 * 79 + ( 1 - 0,505 ) * x

79,91 = 39,895 + 0,495 * x

79,91 - 39,895 = 0,495 * x

40,015 = 0,495 x

x = 40,015 / 0,495 = 80,838 » 81

L'isotope stable cherché est ⁸¹Br.

1. Il existe aussi un isotope radioactif ⁸⁰Br qui est émetteur b⁺ et /ou émetteur b^- selon deux réactions différentes. Justifier la "double radioactivité" de cet isotope et compléter les deux réactions nucléaires.

Réaction 1 : ⁸⁰Br è ⁸⁰Kr Réaction 2 : ⁸⁰Br è ⁸⁰Se

Par rapport aux deux isotopes stables ⁷⁹Br (35 protons et 44 neutrons) et ⁸¹Br (35 protons et 46 neutrons) on voit que ⁸⁰Br (35 protons et 45 neutrons) est "intermédiaire".

Il pourra donc se stabiliser soit :

• en transformant un neutron en proton (émission b^-) pour "ressembler" à ⁷⁹Br.

On obtient alors l'isotope ⁸⁰Kr de l'élément suivant le brome dans la classification (Krypton Z = 36).

Réaction 1 :

• En transformant un proton en neutron (émission b⁺) pour "ressembler" à ⁸¹Br.

On obtient alors l'isotope ⁸⁰Se de l'élément précédant le brome dans la classification (Sélénium Z = 34).

Réaction 2 :

L'Astate (du grec astatos = instable) est comme son nom l'indique un élément artificiel radioactif. L'Astate à été obtenu pour la première fois par Segre en 1940.

Pour l'obtenir, il a bombardé un noyau de Bismuth (²⁰⁹Bi) par une particule alpha.

On obtient un noyau d'Astate (^yAt) et 2 neutrons qui sont éjectés.

Processus qu'on peut écrire :

 On demande de déterminer les valeurs de a,b,u,v,w,y et z

Exercice 5 :

²³⁵U = 235,044 u.m.a ¹⁴⁶La = 145,943 u.m.a ⁸⁷Br = 86,912 u.m.a

Calculer l'énergie de cohésion d'une mole de noyaux d'uranium (Z=92) 235 sachant que la masse du noyau est de 235,044 u.m.a.

Cet atome peut subir une réaction de fission fournissant le lantane (Z=57) 146 et le brome(Z=35) 87. Ecrire la réaction de fission. Calculer l'énergie dégagée en Joule/Kg d'uranium 235. Le pouvoir calorifique du charbon est de 33400 kJ.kg^-1, quelle masse de charbon doit-on brûler pour produire l'énergie équivalente à celle de la fission d'un kilogramme d'uranium 235 ?

Uranium 235 : Z = 92 et N = 235 - 92 = 143

Masse "théorique" :

M_théorique = 92 _* 1.00718 + 143 _* 1,00850 = 236,876 u.m.a

Défaut de masse :

Dm = 236,876 - 235,044 = 1,832 u.m.a / noyau = 1,832 10^{-3 Kg / mole de noyaux}

Energie de cohésion :

E = Dm * C² = 1,832 10^-3 _* ( 3 10⁸ )² = 1,649 10¹⁴ J / mole de noyau

E = 1,649 10¹⁴ / 6,022 10²³ = 2,738 10^-10 J / noyau

E = 2,738 10^-10 / 1,6 10^-19 = 1711 10⁶ eV / noyau = 1711 MeV / noyau

E = 1711 / 235 = 7,3 MeV / nucléon

(Résultat cohérent avec la courbe d'Aston)

Ecrire la réaction de fission.

Réaction de fission :

Deux écritures sont possibles :

Calculer l'énergie dégagée en Joule/Kg d'uranium 235.

Perte de masse :

Dm = 235,044 - 145,933 - 86,912 - ( 2 _* 1,00850) = 0,172 u.m.a = 0,172 10^{-3 kg / mole}

Energie dégagée :

E = Dm C² = 0,172 10^-3 _* ( 3 10⁸ )² = 1,548 10¹³ J / mole

E = 1,548 10¹³ J / 235 g de ²³⁵U

E = 1,638 10¹³ J / 235 = 6,58 10¹⁰ J / g de ²³⁵U = 6,58 10¹³ J / kg de ²³⁵U

Le pouvoir calorifique du charbon est de 33400 kJ.kg^-1, quelle masse de charbon doit-on brûler pour produire l'énergie équivalente à celle de la fission d'un kilogramme d'uranium 235 ?

Masse de charbon équivalente :

M_C = 6,58 10¹³ / 33400 10³ = 2 10⁶ Kg @ 2000 tonnes

La fission de 1 g d'Uranium dégage autant d'énergie que la combustion de 2,1 t de charbon.

Les réactions nucléaires sont beaucoup plus énergétiques que les réactions chimiques, cela explique l'utilisation des centrales nucléaire malgré tous les problèmes qu'elles posent.

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